همچنان که از سال قبل می‌دانیم، تعداد صفرهای تابع درجه دوم $y = ax^2 + bx + c$ را به کمک علامت $\Delta$ می‌توان تشخیص داد. همچنین رو به بالا بودن یا رو به پایین بودن دهانهٔ سهمی از روی علامت $a$ مشخص می‌شود. جدول زیر را کامل کنید.
جدول زیر وضعیت سهمی $y = ax^2 + bx + c$ را بر اساس علامت ضریب $a$ و ممیز $\Delta$ نشان می‌دهد.
| | $\Delta > 0$ (دو ریشهٔ حقیقی متمایز) | $\Delta = 0$ (یک ریشهٔ مضاعف) | $\Delta < 0$ (ریشهٔ حقیقی ندارد) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $a > 0$ (رو به بالا) | سهمی محور $x$ را در دو نقطه قطع می‌کند (در بالای رأس). | سهمی محور $x$ را در یک نقطه مماس می‌کند (در رأس). | سهمی کاملاً بالای محور $x$ است و آن را قطع نمی‌کند. |
| $a < 0$ (رو به پایین) | سهمی محور $x$ را در دو نقطه قطع می‌کند (در پایین رأس). | سهمی محور $x$ را در یک نقطه مماس می‌کند (در رأس). | سهمی کاملاً زیر محور $x$ است و آن را قطع نمی‌کند. |
دربارهٔ تابع درجه دوم $f(x) = ax^2 + bx + c$، برای تشخیص علامت احتمالی ریشه‌های معادلهٔ $f(x) = 0$ می‌توانیم از علامت $S$ و $P$ کمک بگیریم. در هر یک از موارد زیر، مانند قسمت الف عمل کنید:
الف) $y = x^2 + 6x + 5$
$$\Delta = 16 > 0 \Rightarrow \text{معادله دارای دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد.}$$
$$P = \frac{c}{a} = \frac{5}{1} = 5 > 0 \Rightarrow \text{ریشه‌ها هم‌علامت‌اند.}$$
$$S = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{1} = -6 < 0 \Rightarrow \text{هر دو ریشه منفی‌اند.}$$
ب) $y = x^2 + 4x - 5$
پ) $y = 3x^2 - 7x + 1$
ت) $y = -x^2 + 2x - 1$
برای تشخیص علامت ریشه‌های معادلهٔ $ax^2 + bx + c = 0$، ابتدا $\Delta$ (وجود ریشه)، سپس $P = \frac{c}{a}$ (هم‌علامت بودن) و $S = -\frac{b}{a}$ (علامت دقیق) را بررسی می‌کنیم.
**ب) $y = x^2 + 4x - 5$** ($a=1, b=4, c=-5$)
* **$\Delta$**: $\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36$.
$$\Delta = 36 > 0 \Rightarrow \text{دو ریشهٔ حقیقی متمایز.}$$
* **$P$**: $$P = \frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5 < 0 \Rightarrow \text{ریشه‌ها مختلف‌العلامت‌اند.}$$
* **$S$**: $$S = -\frac{b}{a} = -\frac{4}{1} = -4 < 0 \Rightarrow \text{ریشهٔ منفی، قدرمطلق بزرگ‌تری دارد.}$$
$$\text{نتیجه}: \text{یکی ریشه مثبت و دیگری منفی است.}$$
**پ) $y = 3x^2 - 7x + 1$** ($a=3, b=-7, c=1$)
* **$\Delta$**: $\Delta = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(3)(1) = 49 - 12 = 37$.
$$\Delta = 37 > 0 \Rightarrow \text{دو ریشهٔ حقیقی متمایز.}$$
* **$P$**: $$P = \frac{c}{a} = \frac{1}{3} > 0 \Rightarrow \text{ریشه‌ها هم‌علامت‌اند.}$$
* **$S$**: $$S = -\frac{b}{a} = -\frac{-7}{3} = \frac{7}{3} > 0 \Rightarrow \text{هر دو ریشه مثبت‌اند.}$$
$$\text{نتیجه}: \text{هر دو ریشه مثبت‌اند.}$$
**ت) $y = -x^2 + 2x - 1$** ($a=-1, b=2, c=-1$)
* **$\Delta$**: $\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(-1)(-1) = 4 - 4 = 0$.
$$\Delta = 0 \Rightarrow \text{یک ریشهٔ حقیقی مضاعف.}$$
* **$P$**: $$P = \frac{c}{a} = \frac{-1}{-1} = 1 > 0 \Rightarrow \text{ریشه مثبت است.}$$
* **$S$**: $$S = -\frac{b}{a} = -\frac{2}{-1} = 2 > 0 \Rightarrow \text{ریشه مثبت است.}$$
$$\text{نتیجه}: \text{یک ریشهٔ حقیقی مضاعف و مثبت دارد (ریشه } x = 1 \text{ است).}$$
خلاصهٔ این اطلاعات در جدول بعد آمده است. جدول را کامل کنید.
جدول زیر خلاصهٔ وضعیت سهمی‌ها و ریشه‌های آن‌ها را بر اساس نمودار، علامت ضرایب $a$ و $c$ و تعداد ریشه‌ها نشان می‌دهد. برای علامت $b$ از فرمول طول رأس $x_V = -\frac{b}{2a}$ استفاده می‌کنیم:
* اگر $x_V > 0$ باشد، $a$ و $b$ مختلف‌العلامت هستند.
* اگر $x_V < 0$ باشد، $a$ و $b$ هم‌علامت هستند.
| ویژگی / تابع | $f$ | $g$ | $h$ | $i$ | $j$ | $k$ | $l$ | $m$ | $n$ | $p$ | $q$ | $r$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| **علامت $a$** | $+$ | $+$ | $-$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $-$ | $-$ |
| **علامت $b$** | $+$ | $+$ | $+$ | $-$ | $-$ | $0$ | $0$ | $-$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ |
| **علامت $c$** | $-$ | $0$ | $+$ | $-$ | $0$ | $+$ | $-$ | $+$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ |
| **تعداد ریشه‌های متمایز** | **دو** | **دو** | **دو** | **دو** | **دو** | **صفر** | **دو** | **صفر** | **دو** | **دو** | **صفر** | **صفر** |
| **علامت ریشه‌ها (در صورت وجود)** | **یکی مثبت، یکی منفی** | **یکی صفر، یکی منفی** | **هر دو منفی** | **یکی مثبت، یکی منفی** | **یکی صفر، یکی مثبت** | **ریشه ندارد** | **یکی مثبت، یکی منفی** | **ریشه ندارد** | **یکی مثبت، یکی منفی** | **یکی صفر، یکی مثبت** | **ریشه ندارد** | **ریشه ندارد** |
**توضیحات تکمیلی:**
* **$f, d, n$**: $a$ و $c$ مختلف‌العلامت $\Rightarrow \Delta > 0$ (دو ریشه مختلف‌العلامت)
* **$g, p$**: $c=0$ (گذر از مبدأ) $\Rightarrow$ یک ریشه $x=0$
* **$k, r$**: $x_V=0$ (رأس روی محور $y$) $\Rightarrow b=0$
